点积与向量方向的可视化演示
从点到向量的转换
点积演示
点积结果：计算中...
45°
判断向量是否在前方
向量B 在 向量A的前方
向量投影演示
投影长度：0.00
向量B角度：
45°
从点到向量
向量可以通过两点来定义：
- 起点：向量的开始位置（例如：经度0°，纬度0°）
- 终点：向量的结束位置（例如：经度30°，纬度45°）
- 方向：从起点指向终点的方向
- 大小：两点之间的距离
经纬度转向量的过程
将经纬度点转换为三维向量的步骤：
- 经度(λ)：地球表面上的东西方向角度（-180° 到 +180°）
- 纬度(φ)：地球表面上的南北方向角度（-90° 到 +90°）
- 转换公式：
- x = cos(φ) * cos(λ)
- y = cos(φ) * sin(λ)
- z = sin(φ)
在平面（2D）中的简化：
- 角度θ：与正方向的夹角（0° 到 360°）
- x = r * cos(θ)
- y = r * sin(θ)
- 其中r是向量的长度
什么是向量？
向量是同时具有大小和方向的量。在平面中，向量可以用：
- 长度（大小）：表示向量的大小
- 角度（方向）：表示向量相对于正方向的倾角
- 箭头：箭头的长度表示大小，箭头方向表示方向
在本演示中：
- 向量A：固定在水平方向（0°）
- 向量B：可以360°旋转
什么是点积？
点积（数量积）是向量运算的一种，它将两个向量运算得到一个标量。
数学表达式：\[\vec{A} \cdot \vec{B} = |A||B|\cos \theta\]
其中：
- |A|, |B| 分别是两个向量的长度
- θ 是两个向量之间的夹角
- 结果是一个标量（普通数字）
点积与方向关系
- 点积 > 0：两向量夹角在0°~90°或270°~360°之间，方向基本一致
- 点积 = 0：两向量互相垂直，夹角为90°或270°
- 点积 < 0：两向量夹角在90°~270°之间，方向基本相反
实际应用
点积在游戏开发、计算机图形学中经常用于：
- 判断物体的朝向
- 计算光照强度
- 检测碰撞
向量投影
向量投影是将一个向量投射到另一个向量上的过程。投影后的向量与被投影向量方向相同。
数学表达式：\[\text{proj}_{\vec{A}}\vec{B} = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}|^2}\vec{A}\]
其中：
- \(proj_{\vec{A}}\vec{B}\) 是向量B在向量A上的投影
- \(\vec{A} \cdot \vec{B}\) 是两个向量的点积
- \(|\vec{A}|\) 是向量A的长度
投影的应用：
- 分解力：在物理中分解一个力到特定方向
- 计算阴影：在计算机图形学中计算物体投影
- 信号处理：将信号分解为正交分量